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江西省吉安市第一中学2015-2016学年高二上学期第二次段考数学理试题Word版含答案


吉安一中 2015-2016 学年度上学期第二次段考 高二数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个
是符合题目要求的)
1.“ p ? q ”为真命题是“ p ? q ”为真命题的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.设 x ? z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集,若命题 p : ?x ? A, 2x ? B ,则( )
A.非 p : ?x ? A, 2x ? B B.非 p : ?x ? A, 2x ? B C.非 p : ?x0 ? A, 2x0 ? B D.非
p : ?x0 ? A, 2x0 ? B
3.下列说法中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面 C.两两相交的三条直线一定在同一平面内 D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内
4.曲线 y ? xex?1 在点 (1,1) 处切线的斜率等于( )
A.2e B.e C.2 D.1
5.设?, ? 是两个不同的平面,m 是直线且 m ? ? .“ m / /? ”是“? / /? ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既充分也不必要条件

7. 若 f (x) ? x2 ? 2x ? 4 ln x ,则 f ?(x) ? 0 的解集为( )

A. (0, ??) B. (?1,0) ? (2, ??) C. (2, ??) D. (?1,0)

8.如果实数 x, y 满足 (x ? 2)2 ? y2 ? 3 ,那么 y 的最大值是( ) x

A. 3 B. 3 C. 3 D. 1

3

2

2

9.方程 x2 ? y2 ? 1的图象表示曲线 C,则以下命题中( ) 4?t t ?1
甲:曲线 C 为椭圆,则1? t ? 4 ;乙:若曲线 C 为双曲线,则 t ? 4或t ?1; 丙:曲线 C 不可能是圆;丁:曲线 C 表示椭圆,且长轴在 x 轴上,则1 ? t ? 5 .正确个数 为
2
() A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内容高度相等、杯口半 径相等的圆口酒杯,如下图所示,盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半,设剩余酒的
高度从左到右依次为 h1, h2 , h3, h4 ,则它们的大小关系正确的是( )

A. h2 ? h1 ? h4 B. h1 ? h2 ? h3 C. h3 ? h2 ? h4 D. h2 ? h4 ? h1

11.双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a

? 0,b

?

0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,渐近线分别为 l1, l2 ,点

P



第一象限内且在 l1 上,若 l2 ? PF1, l2 / / PF2 ,则双曲线的离心率是( )

A. 5 B.2 C. 3 D. 2 12.如图,在体积为 2 的三棱锥 A ? BCD 侧棱 AB、AC、AD 上分别取点 E、F、G 使 AE : EB ? AF : FC ? AG : GD ? 2 :1,记 O 为三平面 BCG、CDE、DBF 的交点,则三棱锥 O ? BCD 的体积等于( )

A. 1 B. 2 C. 1 D. 2

9

97

7

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上)

13.过抛物线 y2 ? 4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若 AB ? 8 ,则线段 AB 中点的横

坐标为________.

14.图中的三个直角三角形是一个体积为 20cm3 的几何体的三视图,则 b ? ______ cm ,该几 何体的外接球半径为________ cm .

15.若三角形内切圆半径为 r,三边长为 a,b,c,则 S ? 1 (a ? b ? c)r ,利用类比思想:若四 2
面体内切球半径为 R,四个面的面积为 S1, S2 , S3, S4 ,则四面体的体积V ? ________.
16.在正方体上任意选择 4 个顶点,由这 4 个顶点可能构成如下几何体:①有三个面为全等的 等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;②每个面都是等边三角形的四面体;③ 每个面都是直角三角形的四面体④有三个面为不全等的直角三角形,有一个面为等边三角形 的四面体.以上结论其中正确的是________(写出所有正确结论的编号). 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10 分)

(1)设不等式 (x ? a)(x ? a ? 2) ?

0 的解集为 N

,M

?

??m ?

|

?

1 4

?

m

?

2?? ,若 x ? N ?



x ?M 的必要条件,求 a 的取值范围.

(2)已知命题:“ ?x ??x | ?1? x ?1? ,使等式 x2 ? x ? m ? 0 成立”是真命题,求实数 m 的

取值范围.

18.(12)已知椭圆 E :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,离心率为

2 ,点 2

( 2, 3) 椭圆 E 上.(1)求椭圆 E 的方程;(2)设过点 P(2,1) 的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两
点,若 AB 的中点恰好为点 P,求直线 l 的方程.
19.(满分 12 分)如图,现要在边长为 100m 的正方形 ABCD 内建一个交通“环岛”.以正方形
的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为 x m( x 不小于 9)的扇形花坛,以正方形的中心为 圆心建一个半径为 1 x2m 的圆形草地,为了保证道路畅通,岛口宽不小于 60m,绕岛行驶的路
5
宽均不小于 10m.

(1)求 x 的取值范围(运算中 2 取 1.4);
(2)若中间草地的造价为 a元/ m2 ,四个花坛的造价为 4 ax元/ m2 ,其余区域造价为 33
12a ax元/ m2 ,当 x 取何值时,“环岛”的整体造价最低? 11 20.(12)等边三角形 ABC 的边长为 3,点 D, E 分别是边 AB, AC 上的点,且满足

AD DB

?

CE EA

?

1 2

(如图

1).将

?ADE

沿

DE

折起到

?A1DE

的位置,使二面角

A1

?

DE

?

B



直二面角,连结 A1B 、 A1C (如图 2).

(1)求证: A1D ? 平面 BCED ;

(2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°?若存在,求出
PB 的长;若不存在,请说明理由.

21.(12)
已知函数 f (x) ? 2 ln x ? x2 ? ax , g(x) ? ?a ln x ? x2 ? 3ax ? 1 , a ? R . x
(1)当 a ? 0 时,求 f (x) 的极值;
(2)令 h(x) ? f (x) ? g(x) ,求函数 h(x) 的单调减区间;
(3)如果 x1, x2 是函数 f (x) 的两个零点,且 x1 ? x2 ? 4x1 , f ?(x) 是 f (x) 的导函数,证明: f ?( 2x1 ? x2 ) ? 0 .
3

22.(12)已知数列?an? 的前

n

项和

Sn

?

?an

?

( 1 )n?1 2

?

2(n ?

N?)

.(I)求数列?an? 的通项

公式;(II)令 cn

?

n ?1 n an ,Tn

?

c1

?

c2

?

?

cn

,试比较

Tn



5n 2n ?

1

的大小,并予以证明.

参考答案

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

答案 C

D

D

C

B

C

C

C

B

A

B

D

13. 3 14. 4,

77 2

15.

1 3

R(S1

?

S2

?

S3

?

S4

)

16.①②③④

11.解:∵双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a

? 0,b

?

0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,渐近线分别为 l1, l2 ,

点 P 在第一象限内且在 l1 上,

∴ F1(?c, 0)F2 (c, 0), P(x, y) ,

渐近线 l1

的直线方程为

y

?

b a

x

,渐近线 l2

的直线方程为

y

?

?

b a

x



∴ bx ? bc ? bx 即 x ? c ,∴ P( c , bc ) ,

2

2 2a

∵ l2 ? PF1 ,

bc ∴ 2a (? b ) ? ?1,即 3a2 ? b2 ,
3c a 2 因为 a2 ? b2 ? c2 ,所以 4a2 ? c2 ,即 c ? 2a ,所以离心率 e ? c ? 2 . 故选 B.
a
12.解: AA? 为正三棱锥 A? BCD 的高; OO? 为正三棱锥 O ? BCD 有高,

因为底面 ?BCD 相同,则它们的体积比为高之比,

已知三棱锥 A ? BCD 的体积为 1.

所以三棱锥 O ? BCD 的体积为: OO? …………(1) AA?

由前面知, FG / /CD 且 FG ? 2 , CD 3

所以由平行得到, FG ? GN ? 2 所以, GN ? 2 【面 BCG 所在的平面图如左上角简图】

CD NC 3

GC 5

同理, GP ? 2 ,则 GN ? GP , GB 5 GC GB

所以 PN / /BC ,

那么, PN ? GN ? 2 亦即, GT ? GN ? 2 ,设 GQ ? x ,

BC GC 5

GQ GC 5

那么, GT ? 2 x , 5

则, QT ? GQ ? GT ? x ? 2x ? 3 x 而, TO ? TN ? GN ? 2 所以: TO ? 2 ,

55

OQ BQ GC 5

TQ 7

则,TO ? 2 QT ? 2 ? 3 x ? 6x , 7 7 5 35

所以: GO ? GT ? TO ? 2 x ? 6x ? 4 x ,所以: OQ ? GQ ? GO ? x ? 4x ? 3x

5 35 7

77

又, OQ ? OO? GQ GG?

3x 所以, OO? ? 7 ? 3 …………(2)
GG? x 7 且, DG ? GG? ,
DA AA? 所以: GG? ? 1 .........................(3)
AA? 3 由(2)×(3)得到: OO? ? 3 ? 1 ? 1 代入到(1)得到:
AA? 7 3 7 三棱锥 O ? BCD 的体积就是 OO? ? 1 ,
AA? 7

15.考点:球的体积和表面积:简单空间图形的三视图;球内接多面体. 专题:计算题:空间位置关系与距离:球. 分析:由三视图可知,几何体的底面为直角三角形,且一边垂直于底面,再根据体积公式求 解可得 h,可将垂直的三条棱补成长方体,则长方体的外接球的直径 2r 为长方体的对角线, 由长方体的对角线性质,计算即可得到. 解答:解:根据三视图可知,

几何体的体积为:V ? 1 ? 1 ? 5? 6h , 32
又由V ? 20 ,则 h ? 4 ;
可将垂直的三条棱补成长方体, 则长方体的外接球的直径 2r 为长方体的对角线,
即有 42 ? 52 ? 62 ? 2r ,即有 r ? 77 . 2
故答案为: 4, 77 . 2

16.考点:棱柱的结构特征. 专题:计算题:压轴题. 分析:找出正方体中的四面体的各种图形,例如正四面体,即可判断①②的正误;侧棱垂直 底面直角三角形的锐角,四面体即可判断③的正误;画出图形如图即可判断④的正误,推出 选项. 解答:解:在正方体上任意选择 4 个顶点,由这 4 个顶点可能构成如下几何体:
有三个面为全等的等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体,去掉 4 个角的正四 面体即可,正确;
②每个面都是等边三角形的四面体,去掉 4 个角的正四面体即可,正确; ③每个面都是直角三角形的四面体,侧棱垂直底面直角三角形的锐角,四面体即可,正确; ④有三个面为不全等的直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体,如图中 ABCD 即可, 正确,故答案为:①②③④ 17.(10 分)
解析:(1)由题意得,方程 x2 ? x ? m ? 0 在 (?1,1) 上有解,

所以

m

的取值集合就是函数

y

?

x2

? x 在 (?1,1) 上的值域,易得 M

?

??m ?

|

?

1 4

?

m

?

2?? , ?

(2)因为 x ? N 是 x ?M 的必要条件,所以 M ? N , 当 a ?1时,解集 N 为空集、不满足题意;
当 a ?1时, a ? 2 ? a ,此时集合 N ? ?x | 2 ? a ? x ? a?,



??2 ? ??

?a?? a?2

1 4

,所以

a

?

9 4



18.解:(1)由题意得 c ? a

2 2

2 , a2

?

3 b2

? 1,又 a2

? b2

? c2 ,

解得 a2 ? 8, b2 ? 4 .

∴椭圆方程为: x2 ? y2 ? 1. 84

(2)设直线的斜率为 k, A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,

∴ x12 + y12 ? 1, x22 + y22 ? 1,

84

84

两式相减得 (x1

?

x2 ) ? 2( y1

?

y2 )

y1 ? y2 x1 ? x2

?

0,

∵P是

AB 中点,∴ x1 ?

x2

?

4, y1

?

y2

?

2,

y1 x1

? ?

y2 x2

?

k



代入上式得: 4 ? 4k ? 0 ,解得 k ? ?1,

∴直线 l : x ? y ? 3 ? 0 .

19.(12)

?

?

x?9

解析:(1)由题意,得

? ?

100 ? 2x ? 60



? ?100

2 ? 2x ? 2? 1 x2 ? 2?10

?

5

? x?9

解得:

? ?

x ? 20

,即 9 ? x ?15 .

???20 ? x ? 15

(2)记“环岛”的整体造价为 y 元,则由题意得

y ? a ?? ? (1 x2 )2 ? 4 ax ?? x2 ? 12a ? (104 ? ? ? (1 x2 )2 ? ? x2 )

5

33

11

5



?

a 11

????

(?

1 25

x4

?

4 3

x3

? 12 x 2

)

?

12

?104

? ??

令 f (x) ? ? 1 x4 ? 4 x3 ?12x2 ,则 f ?(x) ? ? 4 x3 ? 4x2 ? 24x ? ?4x( 1 x2 ? x ? 6) ,

25 3

25

25

由 f ?(x) ? 0 ,解得 x ?10或x ?15 ,

列表如下:

x

9

(9,10)

10

(10,15)

15

f ?(x)

?

0

+

0

f (x)

极小值

所以当 x ?10 时, y 取最小值, 即当 x 取 10 时,“环岛”的整体造价最低.
20.(12 分)
试题解析:证明:(1)因为等边 ?ABC 的边长为 3,且 AD ? CE ? 1 , DB EA 2
所以 AD ? 1, AE ? 2,在 ?ADE 中, ?DAE ? 60°,
由余弦定理得:
DE ? 12 ? 22 ? 2?1?2?cos600 ? 3 ,因为 AD2 ? DB2 ? AB2 , 所以 AD ? DE , 折叠后有 AD ? DE ,因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角, 所以平面 A1DE ? 平面 BCED ,又平面 B1DE ? 平面 BCED ? DE , A1D ? 平面A1DE, A1D ? DE ,所以 A1D ? 平面 BCED , (2)解法 1:假设在线段 BC 上存在点 P ,则直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°, 如图,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1H 、 A1P ,

由(1)有 A1D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED , 所以 A1D ? PH ,又 A1D ? BD ? D ,所以 PH ?平面 A1BD , 所以 ?PA1H 是直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角,

设 PB ? x (0 ? x ? 3) ,则 BH ? x , PH ? 2

3 2

x ,在 Rt?PA1H

中, ?PA1H

?

600

,所



A1H

?

1 2

x ,在 Rt?A1DH

中,

A1D

? 1, DH

?

2?

1 2

x

,由

A1 D 2

?

DH 2

?

A1H 2

,得

12 ? (2 ? 1 x)2 ? (1 x)2 ,解得 x ? 5 ,满足 0 ? x ? 3 ,符合题意,所以在线段 BC 上存

2

2

2

在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°,

此时 PB ? 5 ; 2

解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB, A1D ? 平面 BCED ,

以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间

直角坐标系 D ? xyz 如图,设 PB ? 2a, 0 ? 2a ? 3 则 BH ? a, PH ? 3a, DH ? 2 ? a ,
? ? 所以 A1(0,0,1), P(2 ? a, 3a,0), E(0, 3,0) ,所以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1 ,因为 ED ? 平
面 A1BD ,所以平面 A1BD 的一法向量为 DE ? (0, 3, 0)

因为直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°,

所以 sin 600 ? PA1 DE ?

3a

? 3,

PA2 DE 4a2 ? 4a ? 5 ? 3 2

解得 a ? 5 ,即 PB ? 2a ? 5 ,满足 0 ? 2a ? 3,符合题意,所以在线段 BC 上存在点 P,

4

2

使直线

PA1 与平面

A1BD

所成的角

60°,此时

PB

?

5 2

....................

21.解:(1)当 a ? 0 时, f (x) ? 2 ln x ? x2 ,故 f ?(x) ? 2 (1? x)(1? x) (x ? 0) x
当 0 ? x ? 1时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递增;

当 x ?1时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递减;

故当 x ?1时, f (x) 取极大值 f (1) ? ?1,

(2) h?(x)

?

2ax2

? (2 ? x2

a)x

?1

?

(2x

?1)(ax x2

?1)

,令 h?(x)

?

0得

x1

?

?

1 a

,

x2

?

1 2



若 a ? 0 ,由 h?(x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,∴ h(x) 的单调减区间为 (0, 1 ) ;

2

2

若 a ? 0 ,①当 a ? ?2 时, ? 1 ? 1 ,由 h?(x) ? 0 得 0 ? x ? ? 1 ,或 x ? 1 ,

a2

a

2

所以 h(x) 的单调减区间为 (0, ? 1), (1 , ??) ; a2

②当 a

? ?2 时,总有 h?(x)

?

?

(2x ?1)2 x2

?

0 ,故 h(x)

的单调减区间为 (0, ??) ;

③当 ?2 ? a ? 0时, ? 1 ? 1 ,由 h?(x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,或 x ? ? 1 ,

a2

2

a

所以 h(x) 的单调减区间为 (0, 1), (? 1 , ??) ; 2a

综上所述,当 a ? ?2 , h(x) 的单调减区间为 (0, ? 1), (1 , ??) ; a2

当 a ? ?2 时, h(x) 的单调减区间为 (0, ??) ;

当 ?2 ? a ? 0时, h(x) 的单调减区间为 (0, 1), (? 1 , ??) ; 2a
当 a ? 0 时, h(x) 的单调减区间为 (0, 1 ) 2
(3)由题意知, f (x1) ? 2 ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0, f (x2 ) ? 2 ln x2 ? x22 ? ax2 ? 0

2 ln x2

两式相减,整理得所以 a

?

x2

x1 ? x1

? (x2

?

x1)







f ?( ? 2 x) x

1?

,2x ? 所 a 以

f

?( 2x1 ? 3

x2

)

?

6 2x1 ?

x2

?

2 3

(2x1

?

x2 ) ? a2

?

?

x2

2 ?

x1

? ? ?ln ? ??

x2 x1

?

3 x2 x
2?

? ?3?
? x2 ? x1 ??

?

1 3

(

x1

?

x2 ) ,

令 t ? x2 ? (1, 4),?(t) ? ln t ? 3t ? 3 , 则??(t) ? (t ?1)(t ? 4) ? 0 ,

x1

t?2

t(t ? 2)2

所以?(t) 在 (1, 4) 上单调递减,故?(t) ? ?(1) ? 0

又?

x2

2 ?

x1

?

0, ?

1 3

(

x1

?

x2 )

?

0

,所以

f

?( 2x1 ? 3

x2

)

?

0



22.(I)在

Sn

?

?an

? ( 1 )n?1 2

?

2 中,令 n

?1 ,可得 S1

?

an

?1?

2

?

a1 ,即 a1

?

1 2





n

?

2 时, Sn?1

?

?an?1

? (1)n?2 2

?

2 ,∴ an

?

Sn

?

Sn?1

?

?an

?

an?1

? (1)n?1 , 2

∴ 2an

?

an?1

?

(

1 2

)n?1

,即

2n

an

?

2n?1 an?1

?1,

设 bn ? 2n an ,则 bn ? bn?1 ?1 ,即当 n ? 2 时, bn ? bn?1 ? 1 ,

又 b1 ? 2a1 ? 1 ,∴数列?bn? 是首项和公差均为 1 的等差数列.

于是 bn

?1?

(n

?1)

1?

n

?

2n a

n

,∴ an

?

n 2n

(II)由(I)得 cn

?

n

? n

1

an

?

(n

? 1)( 1 )n 2

,所以

Tn

?

2?

1 2

?

3? ( 1 )2 2

?

4 ? ( 1 )3 2

?

K

?

(n

? 1)( 1 )n 2

1 2

Tn

?

2 ? ( 1 )2 2

? 3? (1)3 2

? 4?(1)4 2

?

K

? (n ?1)(1)n?1 2

1 2 Tn

?1?

(1)2 2

?

( 1 )3 2

?

K

? (1)n 2

? (n

?1)( 1)n?1 2

由①-②得

?1?

1 4

???1

?

(

1 2

)n?1

? ??

1? 1

?

(n

?1)( 1 )n?1 2

?

3 2

?

n?3 2n?1



2

∴ Tn

?

3?

n?3 2n



Tn

?

5n 2n ?1

?

3?

n?3 2n

?

5n 2n ?1

?

(n

?

3)(2n ? 2n 2n (2n ?1)

?1)

于是只要比较 2n 与 2n ?1的大小即可,

(1)当

n

? 1, 2

时,

2n

?

2n

?1 ,此时Tn

?

5n 2n ?1

?

0

,即 Tn

?

5n , 2n ?1

(2)猜想:当 n ? 3 时, 2n ? 2n ?1,下面用数学归纳法证明:

①当 n ? 3 时,不等式 2n ? 2n ?1成立;②假设 n ? k ? 3时,不等式成立,即 2k ? 2k ?1;

则当 n ? k ?1时, 2k?1 ? 2 2k ? 2(2k ?1) ? 4k ? 2 ? 2k ? (2k ? 2) ? 2k ? 8 ? 2(k ?1) ?1 ,

所以当 n ? k ?1时,不等式 2n ? 2n ?1成立,

由①和②可知,当 n ? 3 时, 2n ? 2n ?1成立,

于是,当 n

? 3 时,Tn

?

5n 2n ?1

?

0

,即 Tn

?

5n 2n ?1



另证:要证 2n ? 2n ?1 (n ? 3) ,只要证:2n ?1 ? 2n ,只要证:1? 21 ? 22 ? L ? 2n?1 ? 2n ,

由均值不等式得:1? 21 ? 22 ? ? 2n?1 ? n n 1 21 22

n?1

3?1

2n?1 ? n 2 2 ? n 2 2 ? 2n ,

所以 2n

?

2n

?1,于是当 n

? 3 时,Tn

?

5n 2n ?1

?

0

,即 Tn

?

5n 2n ?1





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