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2019-2020学年高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义练习含解析新人教A版选修2.doc


2019-2020 学年高中数学第一章导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义练习含解析 新人教 A 版选修 2
一、选择题 1.下面说法正确的是( )

A.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线 B.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则 f′(x0)必存在 C.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的 切线斜率不存在 D.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则 f′(x0)有可能存在
【答案】 C 【解析】 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率. 3? 1 2 ? 2.曲线 y= x -2 在点?1,- ?处切线的倾斜角为( 2? 2 ? A.1 【答案】 B 1 1 2 2 [ (x+Δ x) -2]-( x -2) 2 2 1 =liΔ m (x+ Δ x)=x x→0 Δx 2 B. π 4 5 C. π 4 )

π D.- 4

【解析】 ∵y′=liΔ x m →0

π ∴切线的斜率 k=y′|x=1=1.∴切线的倾斜角为 ,故应选 B. 4 3.曲线 y=x -3x +1 在点(1,-1)处的切线方程为( A.y=3x-4 C.y=-4x+3 【答案】 B 【解析】 y′=3x -6x,∴y′|x=1=-3. 由点斜式有 y+1=-3(x-1).即 y=-3x+2. 4.设 f′(x0)=0,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( )
2 3 2

)

B.y=-3x+2 D.y=4x-5

A.不存在 C.与 x 轴垂 直
【答案】B

B.与 x 轴平行或重合 D.与 x 轴相交但不垂直

【解析】曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为 0,切线与 x 轴平行或重合. 5.曲线 f(x)=x +x-2 在 P 点处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P 点的坐标为( A.(1,0)或(-1,-4) C.(-1,0) B.(0,1) D.(1,4)
3

)

【答案】 A 【解析】 ∵f(x)=x +x-2,设 xP=x0, Δy 2 2 3 2 2 ∴Δ y=3x0·Δ x+3x0·(Δ x) +(Δ x) +Δ x,∴ =3x0+1+3x0(Δ x)+(Δ x) , Δx ∴f′(x0)=3x0+1,又 k=4,∴3x0+1=4,x0=1.∴x0=±1, 故 P(1,0)或(-1,-4),故应选 A. 6.已知函数 f(x)的图像如图所示,下列数值的排序正确的是( )
2 2 2 3

A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2 ) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f′( 2)<f′(3)

【答案】 B 【解析】 根据导数的几何意义,在 x∈[2,3]时,曲线上 x=2 处切线斜 率最大, k= - 3-2 =f(3)-f(2)>f′(3).

二、填空题 2 3 7.设点 P 是曲线 y=x - 3x+ 上的任意一点,P 点处的切线倾斜角为 α ,则 α 的取值 3 范围为( )

? π ? ?2 ? A.?0, ?∪? π ,π ? 2 ? ?3 ? ? ?2 ? C.? π ,π ? ?3 ?
【答案】 A 【解析】 设 P(x0,y0),

? π ? ?5 ? B.?0, ?∪? π ,π ? 2 ? ?6 ? ?
D.?

?π ,5π ? ? ?2 6 ?

∵f′(x)=liΔ x m →0

2 2 3 3 (x+Δ x) - 3(x+Δ x)+ -x + 3x- 3 3 2 =3x - 3, Δx

? π ? ?2 ? 2 2 ∴切线的斜率 k=3x0- 3,∴tanα =3x0- 3≥- 3.∴α ∈?0, ?∪? π ,π ?.故应选 A. 2 ? ?3 ? ?
8.如图,函数 y=f(x)的图像在点 P 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)+f′(5)=________.

【答案】2 【解析】 ∵点 P 在切线上,∴f(5)=-5+8=3, 又∵f′(5)=k=-1,∴f(5)+f′(5)=3-1=2. 三、解答题 9.已知函数 f(x)=x -3x 及 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线方程; (2)求使直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于点 P 的直线方程 y=g(x). 【解析】(1)y′=liΔ m x→0 (x+Δ x) -3(x+Δ x)-3x +3x 2 =3x -3. Δx
3 3 3

则过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜率 k1=f′(1)=0, ∴所求直线方程为 y=-2. (2)设切点坐标为(x0,x0-3x0),则直线 l 的斜率 k2=f′(x0)=3x0-3, ∴直线 l 的方程为 y-(x0-3x0)=(3x0-3)(x-x0) 又直线 l 过点 P(1,-2), ∴-2-(x0-3x0)=(3x0-3)(1-x0),∴x0-3x0+2=(3x0-3)(x0-1), 1 解得 x0=1(舍去)或 x0=- . 2 9 9 9 1 2 故所求直线斜率 k=3x0-3=- ,即:y-(-2)=- (x-1),即 y=- x+ . 4 4 4 4 10.已知直线 l1 为曲线 y=x +x-2 在点(1,0)处的切线,l2 为该曲线的另一条切线,且
2 3 2 3 2 3 2 3 2

l1⊥l2.
(1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1、l2 和 x 轴所围成的三角形的面积. 【解析】 (1)y′|x=1=liΔ x m →0 (1+Δ x) +(1+Δ x)-2-(1 +1-2) =3, Δx
2 2

所以 l1 的方程为:y=3(x-1),即 y=3x-3. 设 l2 过曲线 y=x +x-2 上的点 B(b,b +b-2),
2 2

y′|x=b=liΔ m x→0

(b+Δ x) +(b+Δ x)-2-(b +b-2) Δx
2 2

2

2

=2b+1,所以 l2 的方程为:y-(b +b-2)=(2b+1)·(x-b),即 y=(2b+1)x-b -2. 2 1 22 因为 l1⊥l2,所以 3×(2b+1)=-1,所以 b=- ,所以 l2 的方程为:y=- x- . 3 3 9

y=3x-3, ? ? (2)由? 1 22 y=- x- , ? 3 9 ?

1 ? ?x=6, 得? 5 ?y=-2, ?

5? ?1 即 l1 与 l2 的交点坐标为? ,- ?. 6 2? ?

? 22 ? 又 l1,l2 与 x 轴交点坐标分别为(1,0),?- ,0?. ? 3 ?
1 ? 5? ? 22? 125 所以所求三角形面积 S= ×?- ?×?1+ ?= . 3 ? 12 2 ? 2? ?



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